臺北巿立師範學院九十二學年度碩士班研究生入學考試試題

所　　別：數學資訊教育研究所

科　　目：基礎數學（數學教育組）

考試時間：九十分鐘

※ 注意：不必抄題，作答時請將試題題號及答案依照順序寫在答案卷上。 (答案請書寫於答案卷上，否則不予計分)

一、微積分（共 6題，合計50分）

1. Evaluate the following limit:

(5分)

2. Find , . (5分)

3. Sketch the graph of . (10分)

4. Use integration to find the volume of a solid ball of radius r . (10分)

5. Find a so that . (10分)

6. Find the power series representations for and specify the radius of convergence. (10分)

二、線性代數（共 4大題，合計50分）

1. (a) If A is invertible, is A + A T always invertible？ Why or why not？（5分）

(b) If A is invertible, is A + A always invertible？ Why or why not？（5分）

2. Find an orthonormal basis for the subspace of R 4 .（5分）

3. Let .

(a) Find the minimal polynomial of A .（5分）

(b) Find , where m is a positive integer.（5分）

(c) Evaluate .（5分）

4. Let W be the subspace of R 4 spanned by the vectors .

Use the row-echelon form to help you with the computations in (a), (b), and (c) below.

(a) Find a basis for W .（5分）

(b) Find a basis for , the orthogonal complement of W .（5分）

(c) Express b ＝ as a linear combination of the vectors in the bases of W and .（5分）

(d) Find the projection of b on the subspace W .（5分）